פילוסופיה

על האפס הערבי

Estimated reading time: 17 minute(s)

מאה 17. המתמתיקאי סטיוון. גם סטווין עצמו ראה חשיבות רבה בשאלת השפה הנכונה והיה די בספק לגבי האפשרות לחדש את עידן החוכמה, רק בגלל העובדה המצערת שהשפה הפלמית הייתה ידועה בכדור הארץ הזה רק על ידי מספר קטן יחסית של אנשים. אבל ברמה אחרת הוא מצא את השפה הראויה, ובו בזמן אוניברסלית, בסמליות של חשבון ואלגברה. וזה הנושא אליו ניגש כעת.

איזו סיבה הייתה לו לחזור אל מעבר ליוונים ולגבש את ההשערה של “עידן חוכמה” – השערה המקובלת, במיוחד באסטרונומיה, באלכימיה וברפואה, על ידי הרבה מאוד אנשים החיים באזורים שונים על פני האדמה ושייכים לתרבויות שונות, הגורסים כי היוונים תחילה דווקא?

על פי סטווין, ליוונים לא היה מושג לגבי האפס. כל “עידן הברבריות” מאופיין בבורות זו, ואילו “עידן החוכמה” מובחן בידיעת האפס ומערכת הספרות הערבית.

השימוש שלהם בסימן זה: “.”.החליף את האפס. לדברי סטווין הנקודה “.” נהיית הסימן ל- 0 בעידן החוכמה.

היוונים, לעומת זאת, פירשו באופן שגוי את האפס כסימן ליחידה. מכאן הרבה מאוד שגיאות מהותיות – למשל: הגדרת המספר, הגדרת עקרון המספר, ההבחנה בין גיאומטריה לחשבון, אי הבנת אופי האלגברה, היו רק פועל יוצא אוטומטי לטעות הראשונית.

לפי היוונים, הגדרת המספר היא “ריבוי יחידות”, הגדרה המקובלת באופן אוניברסלי עד המאה השבע עשרה. עקרון המספר הוא היחידה, במובן זה שלא ניתן לספור בלי להבדיל בין היחידות של מספר, יהיה אשר יהיה המספר או היחידות המדוברות: תפוחים או סוסים או כוכבים או יחידות מתמטיות טהורות. היחידה או היחידות אינן, אם כן, מספר עצמו. התוצאה העיקרית של הבנה זו של היחידה ושל המספר הוא ההבחנה החדה בין המספרים, כמורכבת מיחידות מופרדות, נפרדות, מגדלים ורצפים קוויים, כמישור או כמשולש מעוגל נטוי – כלומר ההבחנה החדה בין חשבון וגיאומטריה נעוצה בהעדר האפס. שוב: או יתר על כן, מספרים במובן המדויק של המילה (ביוונית) הם מספרים שלמים בלבד. שברים מובנים כחלקים מהיחידה המתרחשים בחישוב. שברים אינם מספרים. באופן מדעי ניתן להתייחס אליהם כאל יחסים, ליתר דיוק כיחסים בין מספרים שלמים. מספרים “שליליים” ו”לא רציונליים “כלל אינם מתקבלים על הדעת. במהלך המאות החמש עשרה ושש עשרה. מערכת הספרות הערבית הובאה לאירופה במאה השתים-עשרה והייתה בשימוש מתמיד מאז. אבל זה היה סטווין שזיהה לראשונה את המשיכה העצומה של החידוש הטכני הזה. כמובן, היוונים הצליחו גם לחשב ולפתור בעיות, שכיום אנו מכנים אריתמטיות והם, היוונים, כינו לוגיסטיות. אך, עבורם, חישוב וגם פתרון משוואות מספריות לא היו שייכים למדע במובן הראוי של המונח. סטווין מייחס עובדה זו לבלבול מהותי מצדם ביחס למספרים לא רציונליים, אם כי הם שימשו בפועל ארתימטיקאיים ואלגבריסטים- אלה כינו את המספרים הלא רציונאליים "כאבסורדים" או "בלתי מוסברים" או מספרים מוחלטים "חירשים".

לדברי סטווין, “כל זה הוא התוצאה של ההגדרה השגויה של עקרון המספר. הוא אומר:” שעה לא מאושרת בה נאמר לראשונה הגדרה זו של עקרון המספר! 0 הגורם לקושי ולעמעום של דברים שבטבע הם כל כך קלים וברורים! “בעיניו”, בטבע “העיקרון האמיתי של המספר הוא האפס, שהוא מכנה” הנקודה האריתמטית “, באנלוגיה לעקרון הקו, כלומר” הנקודה הגיאומטרית. “זה אפילו יותר מאנלוגיה״. כדי להבין את מלוא היקף הרדיקליות של סטווין במתמטיקה, עלינו לשקול לרגע את מערכת המספרים הערבית בפני עצמה.

מערכת הספרות הערבית כוללת שתי תכונות עיקריות: 1) היא מערכת עשרונית, ו- 2) היא: מערכת של מיקום הספרית. הרכב הסימנים ב- 333 הוא מהסוג שהסימן 3 באמצע פירושו שלושים והסימן 3 משמאל פירושו שלוש מאות, רק בגלל עמדותיהם בהתאמה. המספר העשרוני כשלעצמו משותף לעמים רבים. ספירת המיקום ככזו שימשה כבר את הבבלים, בין היתר. המערכת הערבית ייחודית בכך שהיא משלבת את שניהם, את המספר העשרוני ואת המיקום. סטווין היה ‘הראשון שגרר את התוצאות הסופיות משני המאפיינים האלה של מערכת המספרים של הערבים, שאותם הוא נטה להחשיב כיורשיהם האמיתיים של העמים האלמונים של “עידן החוכמה”. מלכתחילה, הוא זיהה את הצפנים, הסימנים שמשמעותם המספרים השונים, עם המספרים עצמם. כך הוא הצליח לטעון כדלקמן.

אנו יכולים לראות שהאפס ולא היחידה הם עקרון המספר וכי האפס הוא המקבילה לנקודה גיאומטרית על ידי השוואה ישירה של רצף הצפנים עם הארכת קו, באמצעות הוספה של מספר אחד או מספרים רבים ביחס: כבר בשלהי שנת 1560 מתמטיקאי צרפתי, פלטייה, מודה כי איננו יכולים להימנע משימוש במספרים כאלה- “בלתי ניתנים לדדוקציה”, במיוחד y במדידת רציפות, אך ממשיך ואומר שהקשר שלהם לאמיתי אוֹ לא גדל גם על ידי תוספת של אחד או כל אפסים. אבל גם אם נחשוב על הארכה כמעט של קו באמצעות תוספת נקודה

איור: אפס מקף לבבל.

שים לב כי אנו יכולים להעלות עלייה כמעט של מספר דרך התוספת של אפס, וכך: 0.6, 0.60. טענה זו כוללת שימוש בשברים עשרוניים. אנו נחזור לנקודה זו עוד רגע. עם זאת, הראומנט מראה כי סטיבין לא יכול היה להבין את ההבדל בין אופיו של גודל מתמשך לבין אופיו של מספר נפרד. היחידה וכל שבר מהיחידה הם חלקים ממספר, וכתוצאה מכך מספרים את עצמם, כשם שבר שורה הוא חלק מאותו קו, וכתוצאה מכך קו עצמו. האפס, לעומת זאת, אינו חלק ממספר, אלא עקרון של מספר, כשם שהנקודה אינה חלק מגודל, אלא עיקרון של גודל. לכן, אין להבדיל בין מספר וגודל באמצעות דיסקרטיות והמשכיות.

סטיבין אומר: ״לגבי רצף של מים יש רצף של לחות, ולכן בעוצמה רציפה יש מספר רציף. רווח, ככל שרצף הלחות של כל המים עובר את אותה חלוקה והפרדה כמו המים, כך המספר הרציף שמתחת עובר את אותה חלוקה והפרדה כמו המאפיין. “במילים אחרות: עבור סטיבין אין רק אנלוגיה בין האפס לנקודה או בין מספר לגודל, אך התכתבות מושלמת. מבחינה זו לא ניתן להעריך יתר על המידה את השפעתו על דקארט. למעשה, סטיבין תרם בכך מאף אחד אחר לגילויו של את האלגברה גיאומטית אנליטית. דקארט – וזה חל פחות או יותר גם על פרמה שפירש את אפולוניוס, כאילו, דרך העיניים של סטיבין.

תוצאה נוספת של הבנת סטבין את שיטת הספרות בערבית הייתה ההכרה בכמויות לא רציונליות כמספרים אמיתיים. רק מאז סטיבין יכולנו לדבר על מספרים רציונליים כמו גם על מספרים לא רציונליים.
סטווין.גם הבין ביטוי כזה: 4×2-.J5x + 3 כמספר אחד, אותו כינה מספר שמייצג מספר ״רב-רומית אלגברית”. הוא היה גם הראשון שהבין חיסור כתוספת מספרים שליליים.

הזכרתי את השימוש בשברים עשרוניים על ידי סטווין. למעשה, הוא לא היה הראשון להשתמש בהם, אבל הוא היה הראשון שהציב אותם כקשורים ביסודם עם מערכת המספרים הכללית, דרך ״ההתקדמות פי העשר” כפי שהוא אומר – אפשר להמשיך את המספר העשרוני לאין שיעור לא רק כדי להגדיל את המספרים, אך גם כדי להפחית אותם באותו אופן. כך נוכל להיפטר מכל השברים במובן הרגיל של המילה. בכל פעם שאנחנו מתעסקים במספרים, עלינו להכניס אותם לעמודות .כמו כן, דוגמא.

6304 5401
02078

כאן, היינו כותבים את המספר הראשון בסדרה זו, כלומר 6.304.

אנו משתמשים בהם היום.

יתר על כן, לא זו בלבד שהוא הציע שימוש אוניברסלי בשברים העשרוניים, אלא הוא הציע גם את הצפנים בתוך המעגלים כמעריכים עשרוניים. “הוא הבין שכל שבר עשרוני זהה למספר שלם אך למקדם עשרוני,” כהגדרתו של ג’ורג ‘סרטון. כך הוא הפך למגלה האמיתי של השברים העשרוניים כמו ליישום המערכת העשרונית לכל מיני חישובים ומדידות. הוא דרש שכל המדדים והמשקולות יבואו לידי ביטוי ביחידות עשרוניות, דרישה שאמורה הייתה להתממש בצרפת במהלך המהפכה הצרפתית ואחריה אחר כך כמעט כל העולם, למעט אנגליה וארצות הברית. באופן מוזר, סטווין קשר את הסמליות שלו למערכת העשרונית לזו של האלגברה שלו.

אך ברצוני להדגיש כי הרעיון של סטיבין על “עידן חוכמה” – כלומר, תור זהב של מדע או, ליתר דיוק, עידן אלגברי של מדע – עדיין מוביל את התפיסה המודרנית של מדע באופן כללי. ההבדל היחיד בין הרעיון של סטווין לבין ההשקפה המודרנית הוא שאנחנו מציבים את תור הזהב לא בעבר אלא בעתיד.

אנחנו בעתיד היהודי המיוחד הזה.

רשומה רגילה

השאר תגובה