מתמטיקה יוונית: גיאומטריה, ואריתמטיקה, ומשמעות המספר לאונטולוגיה האפלטוניסטית

לפיכך “מתמטיקה” היא המודל לכל היוונים והמדעים. וזה נכון במיוחד לגבי אפלטון גם אריסטו. השלבים העיקריים הם: תיאודורוס (420 לפנה”ס), תיאטוס (400 לפנה”ס), ארכיטאס (390 לפנה”ס), אודוקוס (370 לפנה”ס), אוקליד (300 לפנה”ס), ארכימדס (250 לפנה”ס), אפולוניוס (220 לפנה”ס). עלינו להזכיר גם מהדור המאוחר יותר, את פאפוס (300 לפני הספירה).

 

יש גם מסורת אחרת, לא גיאומטרית, שקשורה יותר ישירות לפיתגוראים המיוצגים על ידי ניקומאכוס ותיאון מסמירנה (120 לספירה) ודומנינוס (המאה החמישית לספירה). לבסוף יש את דיופנטוס (60 לספירה) ופרוקלוס (המאה החמישית לספירה), אחד הפרשנים של אוקלידס. רק נזכיר כי המתמטיקה המודרנית, כפי שהיא מתעוררת במאה השש עשרה, היא תוצאה של פרשנות מחודשת של המסורת האחרונה. עם זאת, אנחנו לא מתכוונים להתמודד עם אותה מסורת מתמטית נהדרת.

 

משימתנו תהיה לתאר את מושג המספר היווני ואת הבעיות המתעוררות בקשר למושג זה. עלינו להתחיל ב”פיתגוראים “. ספרים מודרניים על תולדות הפילוסופיה והמתמטיקה בדרך כלל קובעים כי הטענה העיקרית של הפיתגוראים הייתה אחת: מהות הדברים הם מספרים. אמירה זו כשלעצמה חסרת משמעות.

 

משמעות המילה “מהות”- אסנס- מסובכת מאוד. זהו מונח מימי הביניים שמתרגם מונח אריסטוטלי. המלים “דברים” ו”מספרים “הן דו-משמעיות. זה יהיה בטוח יותר להעלות את הטענה הפיתגוראית באופן הבא: כל מה אנו רואים או שומעים ניתן לספור.

 

אולי זו הצהרה שקרית יוצאת דופן, בטוח, ומכאן בלתי מתאימה. אבל אפילו לשקר הצהרה זו יש חשיבות עליונה, משום שגילוי הכזב של הצהרה זו פירושו לא פחות מגילוי של דברים שאינם ניתנים להפרדה מן האמת עצמה. שכן, מה היו הדברים שספרו הפיתגוראים ומה משמעות עצם הספירה? התשובה לשאלה הראשונה היא: כל הדברים הנתפסים על ידי חושינו, במיוחד כל הדברים הגלויים. באשר לתהליך הספירה, אנחנו תמיד נגיע למנוחה כשאנחנו מבטאים מילה כמו “חמש”, “שתים עשרה”, “מאה; ‘ וכו ‘כל אחת מאותן מילים מסמנת “מספר”.

 

מספר הוא מספר מוגדר של דברים מוגדרים. ומשמעות זו של המילה מספר אינה משתנה בכל שלבי המתמטיקה והפילוסופיה היוונית. זו גם משמעות המילה “נומרוס” עד המאה השש עשרה.

 

מושג מספר זה כולל שתי בעיות, שתי בעיות מהותיות של המתמטיקה והפילוסופיה היוונית. (1) מה האופי של הדברים ככל שהם נספרים? באיזה מובן הם “יחידות” מתאימות לספירה? (2) באיזה מובן מספר אותם דברים או “יחידות” כשלעצמו הוא ביטוי של אחדות? האם המספר שבא לידי ביטוי במילה אחת הוא בעל אחדות?

 

הפיתגוראים לא הוטרדו כל כך על ידי השאלה הראשונה. הדאגה העיקרית שלהם הייתה הבעיה השנייה. איך יתכן שיש להבין דברים רבים כאחד? אנחנו אומרים חמישה כיסאות, שבעה אנשים, עשר פרות. בכל מקרה המספר (חמש …, שבע …, עשר … וכו ‘) מסמל דברים רבים (אחד ועוד אחד ואחר של אחד, וכן הלאה), אך יחד עם זאת אנו מבינים באמצעות המספר את אותם דברים רבים כמו יצירת סט אחד, קבוצה אחת של דברים.

 

מדע המספרים, “חשבון”, כפי שהוא פותח על ידי הפיתגוראים, מנסה לתת מענה לבעיה זו. בכל הנוגע לכל הדברים הנראים לעין, ה”אריתמטיקה “הפיתגוראית אינה רק תחום” מתמטי “(במובן שלנו למילה זו) אלא גם ובעיקר מדע של היקום הנראה לעין, קוסמולוגיה, קרי המדע, נוגעת אל סדר היקום הזה.

 

ספריו של ניקומאכוס, תיאון ודומנינוס, אם כי הגיעו לתוך לתוך הסצינה באיחור משהו, שימרו את המאפיינים העיקריים של חשבון פיתגורס. הם נותנים סיווג של מספרים, סיווג שאנו מוצאים בחלקם גם בספרים האריתמטיים של אוקלידס (VII, VIII, IX). ההבחנה הראשונה היא זו של מספרים מוזרים ואחידים. “ODD” ו- ​​”EVEN” ניתן למצוא גם ברשימת הפיתגוראים, כפי שזו תועדה על ידי אריסטו. וכדאי להזכיר שמונחים אלה, “ODD” ו- ​​”EVEN” רשומים בצורה מוזרה. ברשימת הניתוחים יש שני טורים: מצד אחד המונחים מייצגים דברים בעלי אופי חיובי, ומצד שני דברים בעלי אופי שלילי; לפיכך הטוב מתנגד לרע, החושך,לאור מימין לשמאל, אחד לרבים, זכר לנשים וכו ‘.

 

על פי השימוש, הדיבור במילים ODD ו- EVEN, היה צריך למקם את ODD בין הדברים ה”רעים “. פירושו ביוונית, בדיוק כמו באנגלית, משהו שהוא מוזר למדי, ליתר דיוק, משהו מיותר. אבל הפתגוראים הפכו את הסדר הזה. מה שנראה מיותר במספר אי זוגי הוא לא פחות מאשר אחד. אנו יכולים להפריד בין ארבעה כלבים לשני כלבים ושני כלבים, כלומר לשני חלקים שווים. אבל אנחנו לא יכולים לעשות את אותו הדבר עם חמישה כלבים: כלב אחד מחדש (אלא אם כן אני חותך אחד לשני חלקים והורג אותו). מכיוון ש- ONE נמצא בצד הדברים ה”טובים “, לכן יש להציב את ה- ODD גם בצד זה – שינוי מדהים מההבנה” העממית “.

 

הבחנות נוספות הן EVEN-EVEN, EVEN-

 

ODD, ODD-EVEN. היום היינו מבטאים את המילים הללו באמצעות ה”נוסחאות “הבאות:

 

מספרים משולשים, מספרים מרובעים, מספרים מחומשים וכו ‘. פיתגוראים ייצגו את המספרים האלה בצורה כזו:

 

גנומון הוא תצורה של נקודות (או קווים) שמוסיפה לדמות של נקודות (או קווים), אשר מייצרת דמות דומה.

 

(השיטה שלנו לקבלת כל המספרים האלה מורכבת מהחלפת n ו- m בנוסחאות המתאימות לסדרת המספרים המתחילה באחד.)

 

יש הרבה הבחנות אחרות של מספרים בחשבון פיתגורס, למשל, מספרים ראשוניים (או לינאריים), מספרים מושלמים, חסרים, עדיפים וכו ‘. אנחנו לא הולכים להתמודד עם כולם; עלינו דווקא לשאול, מה הסיבה לסיווג זה? מה המטרה של מדע המספרים הפיתגוראי הזה?

 

כבר אמרתי שהוא מנסה לתת פתרון לבעיית האחדות של מספר כלשהו. סוג של מספרים נקראים הצורה של מספרים. ODD, EVEN, EVEN-ODD, משולש, ריבוע וכו ‘, הם צורות (או מינים), שכל אחד מהם הוא דבר שהוא אחד בפני עצמו ולכן מאפשר את אחדותו של כל מספר. שש הוא “אחד”, או ליתר דיוק כל ששה דברים יכולים להיחשב כקבוצה אחת, כלומר “שישה; ‘ כי משולש , אשר הוא אחד בפני עצמו, גורם לששת הדברים הללו להיות אחד.

 

מספרים תחת צורה מסוימת שייכים לצורה זו בדיוק כמו כמו שכל העצים שייכים למין · עץ. “המינים השונים של המספרים הם הסדר ה”טבעי” שלהם, ואילו מה שאנו מכנים סדרת המספרים הטבעית, סדר המספרים בפועל, לא נראה “טבעי” בכלל. היקום בכללותו מסודר בהתאם לאותם מינים של מספרים. כל דבר הנראה לעין שייך איכשהו לקבוצת דברים ולכן למין מספרי מסוים. במובן זה “הטבע” של כל דבר שנראה לעין הוא “מספר”, או ליתר דיוק צורה מוגדרת של מספר.

 

ניתן להרחיב את האריתמטיקה הקוסמולוגית הזו, אם ניקח בחשבון את כל היחסים האפשריים בין מיני המספרים למספרים עצמם. כך אנו יכולים לקשר את כל הדברים הנשמעים – ויותר מכך את כל הדברים שאינם נראים ולא נשמעים אך מועברים אלינו באמצעות מילים, כלומר באמצעות צלילים נשמעים – ליחסים, פרופורציות וצורותיהם ותכונותיהם השונות. מדע היחסים (והפרופורציות) נקרא לוגיסטיק. זה הבסיס של כל החישובים שלנו, מכיוון שחישוב הדברים איננו אלא להביא את מספר הדברים בהתאמה זה לזה.

 

האריתמטיקה הפיתגוראית (והלוגיסטית), במיוחד מיני המספרים, הן ככל הנראה מקור כל המערכת של המתמטיקה היוונית בצורתה ה”גיאומטרית “המאוחרת יותר. נראה שהפיתגוראים ייחסו חשיבות מיוחדת למספר הקטן ביותר של כל מין. הם קראו להם , “מספרי גג”, כי כל מספר אחר מאותו המין צומח כאילו היה מאותם “שורשים” באמצעות ה”גמונים “; מספר זה יכול היה להיות כלול בתוך עשרה, כלומר, המורכבות הפיתגוראית המפורסמת.

 

המספר הוא צורה. האחדות נובעת ממשהו שהוא עצמו אחד.

 

אפלטון

 

“הצורה” עושה אחדות מתוך רבים. פיתרון זה הוא ללא ספק אחד ממקורות הפילוסופיה האפלטונית, אפלטון עצמו מדבר על ההצעה “המדהימה” שאחד הוא רבים ורבים הם אחד כמתנת האלים לאנושות (פילבוס 140, 160). אבל אפלטון מרחיק לכת הרבה יותר

בהתמודדות עם בעיה זו. ראשית, הוא פונה לשאלה הראשונה העולה בקשר למושג המספר כמספר מוגדר של דברים מוגדרים.

 

אנו יכולים לספור שישה כוכבים או שישה שוורים או כל שישה דברים קטנים או ענקיים. ברור אז “שש” לא קשור בהכרח לכוכבים, שוורים או כל דבר אחר. מה זה “שש” כשלעצמו? ליתר דיוק: אילו דברים הם “שש”, מאז “שש? ‘ דברים אלה אינם כוכבים ולא שוורים ולא שום דבר אחר. עצם האפשרות לספור מספר כוכבים או שוורים או כל דבר אחר מניחה את קיומם של מספרים “טהורים”, כלומר העוצמה של מספר יחידות “טהורות”, שאינן נתפסות על ידי חושינו, אך ניתנות להעלות על הדעת רק על ידי האינטליגנציה שלנו. קיים שדה בלתי מוגבל של יחידות כאלה, שוות כולם זו לזו.

 

הישות שלהן אינה מורכבת מכל דבר מלבד היותן אחת. ככל שהן אינן דבר אלא אחת, הן אינם ניתנים לחלוקה. שדה בלתי מוגבל זה של יחידות “טהורות” הוא הנושא האמיתי של מדע האריתמטיקה. יש להבין את כל המערכת הפיתגוראית של צורות המספרים כקשורה לאותן יחידות טהורות. (ייתכן שכבר זו הייתה הנקודה לתפיסה של יחידות טהורות, בלתי ניתנות לחלוקה וניתנות להבנה בלבד.

 

אנו משתמשים ללא הרף בשברים, במילים אחרות, אנו מחלקיםאת היחידות שאנו מחשבים. היחסים בין יחידות טהורות, ביחידות הניתנות לחלוקה, אינם מאפשרים חישוב של אותן יחידות בהפרש השימוש בשברים.

 

אומנות החישוב – האריתמטיקה שלנו – נדחקת לדרגת אמנות פרקטית בלבד, שהנושא שלה הוא דברים חושניים. זה נשאר נכון בכל המסורת האפלטונית, הניאו-אפלטונית והניאו פיתגוראית. המונח שלהם לוגיסטי הופך להיות דו-משמעי, כלומר משנה טהורה של יחסים והרמוניות או – במידה רבה יותר – – האמנות המעשית של חישוב.

 

נקודת המבט החדשה ממנה ניגש אפלטון לבעיית המספרים מובילה אותו לשלב נוסף במענה על השאלה השנייה הקשורה למושגי המספרים.

 

השאלה היא: כיצד יכולות יחידות טהורות רבות ליצור מספר אחד.

 

התשובה לשאלה זו שניתנה על ידי האריתמטיקה הפיתגוראית (“המטוהרת”) אינה מספקת לחלוטין. “הצורות” הפיתגוריות המאחדות חלקית זרות למספרים עצמם.

 

הצורות “לא מסבירות את ההבדל האמיתי בין מספרים באותה צורה. לפי אפלטון, לא ניתן להסביר מספיק חשבון בפני עצמו, וזה נכון גם לכל מערכת המתמטיקה במובן המוגבל של המילה. ה”עקרונות “האמיתיים״ של אחדות כל מספר ומספר, ניתן למצוא רק ברעיונות של מספרים. והרעיונות האלה של מספרים עשויים לפתור במקביל; כפי שנראה; את הבעיה האפלטונית הגדולה של “השתתפות”.

 

בוא ננסה לקבוע את הבעיה במונחים של אפלטון עצמו. בפיידון, סוקרטס תוהה איך דבר אחד שהובא אחר דבר אחד מייצר שני דברים. אף אחד מהדברים אינו שניים. האם ה”שניים “הם משהו מלבד הדברים היחידים כביכול.

 

איפה ה”שניים “? (אסור לשכוח שהסמל שלנו “2” לא אומר שום דבר בפני עצמו.) בהיפיאס הגדול, סוקרטס שואל את היפיאס הסופיסט אם הוא חושב שמשהו המשותף לשני. הדברים כשניים עשוי להשתייך לאף אחד מהם. היפיאס דוחה בבוז את ההצעה הזו. הוא טוען כך: אם אנחנו, סוקרטס והיפיאס, כשניים, צודקים או בריאים או פצועים, וכן הלאה, אז סוקרטס הוא צודק, בריא, פצוע, והיפיאס הוא צודק, בריא, צודק ופצוע וכן הלאה.

 

היפיאס מאשים את סוקרטס בכך שהוא לא מסתכל על “כל הדברים … אלא מפריד את היפה וכל אחד מהדברים שיש, ואתה בוחר בזה, בדיבורים שלך, עד שהוא נחתך לגודל”, כמו] מופעי השאלות הנוכחיים של סוקרטס מראים. היפיאס לא רואה שחרפה זו חלה על עצמו ולא על סוקרטס. סוקרטס עונה: מה שאתה אומר נכון אבל בכל זאת שנינו שנינו, ואילו אתה ואני כל אחד ולא שניים. “נוסחה” זו: כל אחת – אך שתיהן – שתיים.

 

אצל הסופיסט, הזר שהוא דיאלקטיקן, חסידו של פרמנידס, דן עם המתמטיקאי הצעיר תיאיטוס בשאלת ההוויה ואי ההוויה. הזר, כפי שהוא מודה, לעולם לא יכול היה למצוא תשובה לשאלה זו, וגם תיאטוס לא יכול, כפי שעולה מהדיון. הזר מציע שאף אחד מהם לא יתקוף את הבעיה לבד (239 ג:) אלא שהם צריכים לנסות יחד לפתור אותה. לבסוף הם מגיעים לדיון על מנוחה, שינוי והוויה :שם נטען כי הוויה היא מנוחה ושינוי, ותו לא. בהנחה שזה המקרה, האם אנו בנוכחות של שניים או שלושה רעיונות? מנוחה “היא” שינוי “הוא; ‘- האם להיות הוויה זה להיות אחד מהם או אף אחד מהם? או האם זה להיות משהו” מחוץ “להם?

 

יש לדחות את כל האפשרויות הללו. אפלטון לא נותן פתרון לבעיה זו, לפחות לא ״בבהירות מלאה”, בדיאלוג זה. אבל ברור שהפתרון נעוץ בעובדה שהוויה היא מנוחה ושינוי” ביחד “(lilla), שרעיונות המנוחה והשינוי מהווים יחד, ורק יחד, את הרעיון של להיות.

 

במילים אחרות, מנוחה היא לא להיות כמו שסוקרטס הוא לא “שניים”, ושינוי הוא לא Being כמו שהפסקה של השינוי היא לא “שניים?” אבל מנוחה ושינוי יחד הם להיות כמו שסוקרטס והיפיאס הם “שניים.” בשני המקרים יש לנו מבנה דומה: מנוחה ושינוי קשורים זה לזה כרעיון ההוויה; ועצם העובדה שאף אחד מהם אינו הוויה, אף שהם משותפים, מובילה להנחה שהקשר בין שלושת הרעיונות הללו, או ליתר דיוק בין ההוויה “הסוגית”- הוויה כסוג או קבוצה- ל”מין “שלה מנוחה ושינוי עשוי להיות “חשבון” אחד. ההבדל בין המספר “שניים” לבין “המספר” “ישות” הוא זה: היחידות של המספר “2” שוות זו לזו, ויתרה מכך, שוות לכל יחידה אריתמטית אחרת, כך שהמספר “שתיים” ניתן להוספה לכל מספר אחר; אך ה”יחידות “של ה”מספר” כישות, הוויה אינן שוות זו לזו (הן ניגודים: מנוחה – שינוי) ולא ניתן “להוסיף” אותן לשום “מספר” אחר – מסוג זה.

 

יש לכנות את מבנה ההוויה “המספרית” אריתמולוגית ולא אריתמטית. (המונח “אריתמולוגיה” מקורו במאה השש עשרה.) זהו “מספר” במובן ייחודי יותר ממספרים אריתמטיים; המבנה שלו הוא – אם ננסה להבין את המשמעות של אפלטון – הפרדיגמה בבסיס המבנה של כל מספר אריתמטי ולא להפך. ה”מספר “הוויה הוא הרעיון של “שניים”, הוא האידאה, “שניים”. ולבסוף כל שני דברים מעולמנו החושי מהווים הוויה.

 

לפיכך פתרון בעיית האחדות של מספר כלשהו נעוץ בתפיסה של רעיונות מספרים תואמים. נראה – על פי עדותו של אריסטו -. כי אפלטון חשב רק על תשעת ה”מספרים “הראשונים מסוג זה, הראשון היה הוויה: האידיאלי” שניים”, שזה זהה לרעיון של

being .

אבל מה עם

Being / One

One , one כלומר? “המוחלט” אחד שהוא ייחודי ולא יחידה אחת בין יחידות אחרות, הוא איננו על פי הסדר האריתמטי או מספר בכלל. שהרי, האחד במספר. או; הראשון כמספר האריתמטי הוא “שניים”. זה תקף לכל היוונים. וזאת משום שמספר הוא “מספר דברים” ו”דבר אחד “אינו מספר דברים.) ה- ONE הוא מעבר למבנה האריתמולוגי, מעבר לכל מבנה בכלל, מעבר להוויה (;Republic 509b) – זה הרעיון של הטוב.

 

למספרים האריתמטיים יש אחדות מכיוון שהם דמויות של “המספרים האידיאליים”. מהבחינה הזו אריסטו צודק לחלוטין בטענתו (מטאפ A6, 987 ב 10-13): אפלטון שינה רק את המונח הפיתגוראי: “המספרים האידיאליים” של אפלטון מקבילים ל”מספרי השורש “של הפיתגוראים. את מה שעשו הפיתגוראים ביחס לעולם החושים, מנסה אפלטון לעשות ביחס לעולם “האמיתי”, כלומר “האידיאלי”.

 

המבנה האריתמולוגי של הרעיונות מאפשר גם פיתרון לבעיה האפלטונית של “השתתפות”. הבעיה האמיתית של השתתפות היא בעיית הקהילה בקרב קהילת האידיאות. ניתן להעלות את הקהילה למחשבה בתור קהילה אריתמולוגית. כל סוג הוא הקהילה האריתמולוגית ממין מסויים: כל מין הוא אחד, ומצד שני השתתפותו בסוג אינה משפיעה על אחדות הסוג, מכיוון שאחדות זו אינה מורכבת מכל הקהילה, השייכות המשותפת, מכל המינים.

 

אריסטו

 

לבסוף עלינו לומר כמה מילים על יחסו של אריסטו לבעיית המספרים. התנגדותו אל מול הפיתרון האפלטוני היא כפולה. ראשית, הוא מכחיש את קיומם התלוי של היחידות האריתמטיות הטהורות. נושא האריתמטיקה הוא אכן תחום היחידות החשבוניות.

 

ה”טוהר ” של המספרים, לפי אריסטו, אינו מורכב מקיומם העצמאי אלא מ”נייטרליות” ביחס לכל הדברים הגיוניים. “נייטרליות” זו היא תוצאה של הפשטה. בספירת הדברים אנו מונעים מאותם דברים את כל התכונות למעט יכולתם להיות אחד. בספירה ומחשוב של דברים אנו “מפשטים” את הדמות הזו של להיות אחד מאותם דברים. תורת ההפשטה האריסטוטלית הזו, דוקטרינה בעלת חשיבות עצומה להיסטוריה של המחשבה האנושית, אינה תיאוריה “פסיכולוגית”. זה דווקא ניסיון – וקיצוני מאוד -,: לקבוע את האופי המוזר של ההוויה- היותם של עצמים מתמטיים עצמים מתמטיים ויתרה מכך, כל מושאי הידע האפשריים.

 

על פי נקודת מבט זו מדע של חיבור הכולל שימוש בשברים אפשרי לחלוטין: היחידות האריתמטיות אינן “ניתנות לחלוקה” ככל שכל ספירה מניחה שדה של יחידות אמיתיות, אך תמיד נוכל לשנות את היחידות,וזאת אם לא לפשט מכל הדברים כקבוצה אך מחלקים חלקים שלהם.

 

שנית, אריסטו מכחיש – וזאת שוב טענה קיצונית ביותר – שיש אחדות במספר דברים. מספר דברים מסמל דברים רבים ואינו בעצמו דבר אחד. הקהילה של היחידות של מספר לא אומרת את אחדות המספר הזה. ה”אחדות” היחידה האפשרית של מספר היא אחדות היחידה הנתונה לתהליך הספירה. אחדותם של שישה תפוחים היא “תפוח”. ככל שהעמדה האפלטונית ביחס למספרים תהיה מוטלת בספק, נראה כאילו אריסטו לא ראה את הבעיה האמיתית של המספרים. בעיה זו עדיין ממתינה לפיתרון.

aísthesis — תפיסה חושית

aisthetón — מושא החוש; אובייקט הנתפס על ידי החוש

analogía — פרופורציה

aóristos [dyás] — אינסופי, לא קבוע, דיאד

ápeiron — ללא גבול, אינסופי

apódeixis — הוכחה קפדנית

aporía — מוכה

arché, pl. archaí — התחלה, מקור משל בדבר, חומר התחלתי

chorismós — הפרדה

diánoia — כושר ופעילות המחשבה

dýnamis — כוח

eidetikós — שם תואר מ- eidos

“Eídos, pl. eíde – מילולית: “נראה”; סוג, צורה, מינים, “רעיון”; לפעמים: “דמות”

epistéme – לט. scientia, ידע, מדע

génos, pl. gene- סוג, משפחה, קטגוריה

hen – אחד

hýle – חומר

koinón – sb: דבר משותף

koinonía ton eidón – קהילת ה-eide

katá to pléthos – לפי ההמון או הרבים

kath ’autó – מעצמו

kathólou pragmateía – טיפול כללי או למידה

kat ’eídos – לפי סוג

kinesis – שינוי

logistiké – אמנות לוגיסטית

logos, pl. lógoi – דיבור סביר; גם: יחס

máthema – דבר נלמד

mathematiká – sb: אובייקטים מתמטיים

mathesis – למידה, דיסציפלינה

méthexis – השתתפות

Monas – monad, יחידה

morphé – צורה

noetón – זה שהוא למחשבה, מושא מחשבה

nóesis – פעילות מחשבה, אינטליגנציה

nous – [פעילות ישירה ומושלמת של] מחשבה, אינטלקט

on; me on – להיות; אי-הוויה

páthos, pl. páthe – מאפיין

posón – Lat. quantum, sb.: מושא השאלה “כמה?”, שיש לו כמות; כדי למנוע סרבול, יוגדר כ”כמות

stásis – לנוח

tautón – אותו דבר

táxis – סדר

téchne – אמנות, מיומנות

thàteron – האחר